Teória čísel

Obory čísel

Algebraické vlastnosti

Komutatívnosť

Je v algebre vlastnosť, hovoriaca o nezávislosti poradia operandov binárnej operácie (operácia s dvoma operandmi - napr. sčítanie, odčítanie, násobenie, delenie, ...).

Niektoré operácie v matematike túto vlastnosť nemajú. Nazývame ich potom nekomutatívne.

Príklady:

• $5 + 3 = 3 + 5 \Rightarrow$ súčet je komutatívny

• $5 * 3 = 3 * 5 \Rightarrow$ súčin je komutatívny

• $5 - 3 \neq 3 - 5 \Rightarrow$ rozdiel nie je komutatívny

Asociatívnosť

Je v algebre vlastnosť binárnej operácie, spočívajúca v tom, že nezáleží, v akom poradí použijeme zátvorky pri výraze, kde je viac operandov.

Príklady:

• $(5 + 3) + 2 = 5 + (3 + 2) = 10 \Rightarrow$ súčet je asociatívne

• $(4 * 2) * 3 = 4 * (2 * 3) = 24 \Rightarrow$ súčin je asociatívne

• $2 - (3 - 1) = 0 \neq -2 = (2 -3) - 1 \Rightarrow$ delenie nie je asociatívne

Distributívnosť

Je v algebre vlastnosť dvoch binárnych operácii (napr. sčítanie a násobenie), spočívajúca v tom, že nezáleží, či spočítame $(3*2) + (3*4)$ alebo $3 * (3 + 4)$.

Všeobecne: $(a * b) + (a * c) = a * (b + c)$ - distributívny zákon.

Uzavretosť

Je vlastnosť množiny ($M$) a operácie ($\oplus$), ktorá spočíva v tom, že ak vyberieme dve ľubovolné čísla $a$, $b$ z množiny $M$ a vykonáme na nich operáciu $\oplus$, výsledok bude taktiež z množiny $M$.

Napríklad ak sčítame dve ľubovolné prirodzené čísla $2$ a $7$, tak dostaneme číslo $9$, ktoré je tiež prirodzené. Hovoríme teda, že množina prirodzených čísel je uzavretá na sčítanie.

Ak odčítame dve ľubovolné prirodzené čísla $7$ a $2$ ($7 - 2$), tak dostaneme číslo $-5$. Číslo $-5$ nepatrí do množiny prirodzených čísel, preto hovoríme, že množina prirodzených čísel nie je uzavretá na odčítanie.

Formálne túto vlastnosť vyjadrujeme: ak $a, b \in \mathbb{N}$, tak $a + b \land a * b \in \mathbb{N}$.

Neutrálny prvok

Je prvok $e \in M$, ktorý nezmení hodnotu výsledku binárnej operácie ($\oplus$) na množine ($M$). Formálne túto vlastnosť zapíšeme: $\forall a \in M: a \oplus e = a = e \oplus a$.

Pre násobenie je neutrálny prvok číslo $1$, pretože $a * 1 = a$.

Pre sčítanie je neutrálny prvok číslo $0$, pretože $a + 0 = a$.

Inverzný prvok

Nech je $e$ neutrálny prvok. Hovoríme, že prvok $b \in M$ je inverzným k prvku $a$, ak platí: $\forall a \in M: a \oplus b = e = b \oplus a$.

Teda inverzným prvkom k $-8$ pre operáciu sčítanie je prvok $-8$, pretože $-8 + (-8) = 0$.

Obory čísel

Číselný obor je množina čísel, na ktorých je definovaná operácia sčítanie a násobenie. Výsledkom týchto operácií bude číslo, ktoré tiež patrí do daného oboru - teda je uzatvorená na tieto operácie.

Obory:

• $\mathbb{N}$ - prirodzené čísla - vyjadrujeme pomocou nich počet (prvkov); $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, 5, ... \}$
• $\mathbb{Z}$ - celé čísla - obsahujú prirodzené čísla, nulu a záporné celé čísla; $\mathbb{Z} = \{ ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... \}$
• $\mathbb{R}$ - reálne čísla; $\mathbb{R} = (-\infty; \infty)$
  • $\mathbb{Q}$ - racionálne - čísla, ktoré sa dajú zapísať v tvare zlomku ($\frac{3}{4}, 0.25$)
  • $\mathbb{I}$ - iracionálne - čísla, ktoré sa nedajú zapísať v tvare zlomku ($\pi, \phi, \sqrt{2}$)

Delitelnosť

V obore $N$ platí pre ľubovoľnú dvojicu čísel $a, b$ nasledovná definícia: Číslo $a$ je deliteľné číslom $b$ práve vtedy, keď existuje také prirodzené číslo $k$, že platí

$a = b * k$

a teda vtedy, keď každé číslo $a$ je "násobkom" čísla $b$ alebo inak povedané, keď číslo $b$ je "deliteľom" čísla $a$.

Zvyšok je číslo $z$ vo výraze typu $a = b * k + z$, nazývaný tiež zvyškový tvar čísla $a$. Číslo $z$ je teda zvyšok pri delení čísla $a$ číslom $b$.

Prvočíslo

Prvočíslo je každé prirodzené číslo, ktoré je celočíselné deliteľné iba jednotkou a samým sebou.

Príklady prvočísel: $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23...$

Zložené číslo

Zložené číslo je každé prirodzené číslo, ktoré má aspoň troch deliteľov, vrátane čísla $1$.

Príklady zložených čísel: $4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15...$

Základná veta aritmetiky - Každé zložené číslo vieme zapísať ako súčin prvočísel.

Prvočíselný rozklad

Každé prirodzené číslo môžeme zapísať ako súčin prvočísel.

$24 = 8*3 = 2^3*3$

$120 = 2 * 2 * 2 * 3 * 5 = 2^3 * 3 * 5$

Pravidlá deliteľnosti

Číslo a je deliteľné:

• $2 \Leftrightarrow$ je párne - teda jeho posledná cifra je 0, 2, 4, 6 alebo 8
• $3 \Leftrightarrow$ súčet všetkých jeho cifier je deliteľný 3
• $4 \Leftrightarrow$ jeho posledné dvojčíslie je deliteľné 4
• $5 \Leftrightarrow$ jeho posledná cifra je 0 alebo 5
• $6 \Leftrightarrow$ je deliteľné aj 3 aj 2
• $8 \Leftrightarrow$ jeho posledné trojčíslie je deliteľné 8
• $9 \Leftrightarrow$ súčet všetkých jeho cifier je deliteľný 9
• $10 \Leftrightarrow$ jeho posledná cifra je 0

Najväčší spoločný deliteľ (NSD) / Greatest common divisor (GCD)

Najväčší spoločný deliteľ $nsd(a, b)$ dvoch čísel $a$ a $b$ je také najväčšie číslo, ktorým môžeme celočíselne vydeliť aj $a$ aj $b$.

Napríklad $nsd(16, 24) = 8$. Aj číslo $16$, aj číslo $24$ môžeme celočíselne vydeliť číslom $8$.

Vieme ho určiť pomocou:

Výpisu všetkých deliteľov (a vyberieme najväčší spoločný)

$16: 1, 2, 4, 8, 16$

$24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24$

Prvočíselného rozkladu

Euklidovho algoritmu

Najmenší spoločný násobok